Diese Monographie behandelt die eindimensionale Hilberttransformation und die ge� brochene Integration auf der reellen Zahlengeraden. Da sich viele der Beweise auf die Fouriertransformation f�r Lp-Funktionen (1 ~ P ~ 2) st�tzen, haben wir in Kapitel 1 alles N�tige aus der Theorie der Fouriertransformation f�r Funktionen einer Ver�nder� lichen systematisch zusammengestellt. Weiterhin haben wir uns erlaubt, die wohl� bekannten Eigenschaften der Hilberttransformation ohne Beweis vorauszusetzen und weniger bekannte ausf�hrlich zu beweisen. Der Schwerpunkt der Monographie liegt bei den Kapiteln 3-6, deren Ergebnisse zum gro�en Teil neu sind. Da in der Einleitung �ber die Problemstellung und �ber die Resultate n�her berichtet wird, sei an dieser Stelle nur erw�hnt, da� Ausgangspunkte unserer �berlegungen Arbeiten folgender Mathematiker sind: S. BOCHNER, J. L. B. COOPER, W. FELLER, G. H. HARDY, J. E. LITTLEWOOD, G. O. OKIKIOLU, M. RIESZ, E. C. TITCHMARSH und H. WEYL. Dadurch wird eine Einordnung unserer Ergebnisse gew�hrleistet. Unser besonderer Dank gilt Herrn Professor J. L. B. COOPER f�r viele fruchtbare Dis� kussionen und wertvolle Ratschl�ge. Seine Vortr�ge im Aachener Kolloquium und seine Teilnahme an einer Tagung, die der erstgenannte Verfasser im MATHEMATISCHEN FORSCHUNGSINSTITUT OBERWOLFACH im August 1963 abgehalten hat, waren stets an� regend. Die Verfasser danken den Herrn Dr. E. G�RLICH und H. JOHNEN f�r manche kritischen Bemerkungen und f�r ihre Mithilfe bei der Durchsicht von Teilen des Manuskripts und der Korrekturen, ferner Frl. K. REIMER-KELLNER, die das Manuskript mit gro�er Sorgfalt geschrieben hat, und dem Westdeutschen Verlag f�r sein Ent� gegenkommen und die gute Ausstattung dieser Monographie.

�ber die Autorin bzw. den Autor

Carlo Bardaro is professor of mathematics at the DMI of the University of Perugia (Italy). He taught Mathematical Analysis at the University of Rome "La Sapienza" as an associate professor and at the University of Perugia, where, in 2013, he obtained a full professorship. His areas of research comprise operator theory, function spaces, approximation theory, integral transforms, signal analysis. He published 147 research papers, is a co-author of one book on nonlinear integral operators, is co-editor of two recent special issues of Journal of function spaces and Bollettino della Unione Matematica Italiana. He is editor of several mathematical journals.

Paul L. Butzer, born in the Rhein-Ruhr district of Germany, had to leave with his parents and brother for Britain in 1937, lived there for four years, traveled on to Montreal, Canada, studying there, then at the University of Toronto, receiving his Masters degree in 1949, his Ph.D 1951. After teaching at McGill University, Montreal, he returned to Germany in 1955, teaching at the universities of Mainz, Freiburg and Wuerzburg. In 1958 he received an offer to join the RWTH AACHEN, as ordinary professor of mathematics ever since 1961, as Chair Professor in Analysis for 32 years, Prof. Emeritus in 1993. His fields of research include real analysis, approximation theory, functional analysis, operator theory, integral transform theory, signal analysis and prediction theory, combinatorial number theory, probability theory, history of mathematics and in certain areas of astronomy. He published ca. 400 research papers, co-authored some 25 books in a variety of fields, including conference proceedings, from Oberwolfach, Aachen,Yugoslavia, Kuwait. According to the ranking of Research.com, he belonged in the year 2023 to the 1460 best scientists worldwide. He was named a 2024 top scholar by Scholar GPS, ranking him within the top 0.5% of all scholars worldwide. For his lifetime career in all fields he was rated #49,965 overall (all fields ), #11,031 in physical science and maths, #1,118 in maths, and #6 in Fourier analysis.

Ilaria Mantellini is associate professor of mathematics at the DMI of the University of Perugia (Italy). She obtained the qualification of University Researcher at the University of Perugia in 1997, teaching various courses in mathematical analysis, and subsequently she became associate professor of Mathematical Analysis at the same university in 2022. Her areas of research comprise, operator theory, function spaces, approximation theory, integral transforms, signal analysis. She published 78 research papers and is editor of two mathematical journals.

Gerhard Schmeisser studied mathematics and physics at FAU Erlangen (Germany). After passing the state examination in 1964, he received the Dr. rer. nat. degree in 1967 and completed habilitation in 1974. Since 1978 he has been professor of mathematics at FAU and retired in 2004. His various scientific contacts include multiple research stays at Universit� de Montr�al and at Universit� de Pau et des Pays de l’Adour. His areas of research comprise numerical analysis with emphasis on quadrature and cubature, polynomials, complex analysis, approximation theory, integral transforms and applications of these fields in signal processing. He has published 124 research papers, co-authored two books, a lecture notes and is co-editor of two contributed volumes; he still serves as an editor of a scientific journal.

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